Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa to jedno z najważniejszych zagadnień na maturze z matematyki. Jej wykresem w układzie współrzędnych jest charakterystyczna krzywa zwana parabolą (przypominająca kształtem uśmiech lub smutną minę).

1. Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową można zapisać na trzy różne sposoby. Każdy z nich przydaje się do innych obliczeń, dlatego musisz płynnie między nimi przechodzić:

• Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$ To najbardziej podstawowa postać. To właśnie z niej najłatwiej obliczyć słynną deltę. Co ważne, wyraz wolny $c$ zawsze wskazuje punkt, w którym parabola przecina pionową oś $OY$ (czyli punkt $(0, c)$).
• Kanoniczna: $f(x) = a(x - p)^2 + q$ W tej postaci litery $p$ oraz $q$ to nic innego, jak bezpośrednie współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q)$. Wzory na ich obliczenie to: $p = -\frac{b}{2a}$, $q = -\frac{\Delta}{4a}$.
• Iloczynowa: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ Ta postać istnieje TYLKO WTEDY, gdy funkcja w ogóle posiada miejsca zerowe (pierwiastki $x_1$ i $x_2$). Jest niezwykle przydatna do błyskawicznego odczytywania miejsc zerowych i szkicowania wykresu.

2. Słynna Delta (Wyróżnik)

Wyróżnik równania kwadratowego (czyli $\Delta$) pozwala nam od razu ocenić, ile miejsc zerowych posiada dana funkcja. Wzór na deltę:

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

• $\Delta > 0$: funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe, które obliczamy ze wzorów: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $\Delta = 0$: funkcja ma jedno (podwójne) miejsce zerowe, które jednocześnie jest jej wierzchołkiem: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• $\Delta < 0$: funkcja nie ma miejsc zerowych. Jej wykres "wisi" w całości nad osią $OX$ (gdy $a > 0$) lub znajduje się w całości pod nią (gdy $a < 0$).

3. Wzory Viète'a (Rozszerzenie)

Jeśli przygotowujesz się do poziomu rozszerzonego, musisz potrafić działać na miejscach zerowych bez ich faktycznego wyliczania, korzystając wyłącznie ze współczynników z postaci ogólnej:

$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $$

$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Skąd wziął się ten skomplikowany wzór z deltą na miejsca zerowe? Nie jest to magia, lecz sprytne przekształcenie postaci ogólnej w kanoniczną!

Wyobraź sobie, że chcemy rozwiązać równanie $ax^2 + bx + c = 0$. Matematycy najpierw dzielą całość przez $a$, a potem stosują sprytny trik zwany "dopełnieniem do kwadratu", aby stworzyć wzór skróconego mnożenia: $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$ Sztucznie dodajemy i odejmujemy ułamek, by zwinąć początek w nawias z kwadratem: $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$$ Gdy połączymy ze sobą dwa ostatnie ułamki (sprowadzając je do wspólnego mianownika $4a^2$), ich licznik przybierze kształt... dokładnie $b^2 - 4ac$! Matematycy, widząc to powtarzające się wyrażenie, dla wygody nazwali je grecką literą $\Delta$ (delta). Gdy teraz wyznaczysz z tego równania $x$, otrzymasz słynny wzór na $x_1$ i $x_2$. To czysta algebra!

🏋️ Interaktywny Trening Egzaminacyjny CKE 2027

Dodatkowe zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku