Geometria analityczna w układzie współrzędnych

Geometria analityczna to genialny most łączący algebrę (wzory, równania) z geometrią (rysowaniem figur). Każda figura, prosta i punkt ma tutaj swoje precyzyjne współrzędne, dzięki czemu wszystko da się matematycznie "wyliczyć" bez używania linijki czy kątomierza!

1. Odległość punktów i środek odcinka

Mając podane dwa punkty $A=(x_1, y_1)$ oraz $B=(x_2, y_2)$, możemy bez problemu obliczyć absolutną długość łączącego je odcinka $AB$ ze wzoru (który jest po prostu twierdzeniem Pitagorasa w przebraniu): $$ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Rys. 1. Twierdzenie Pitagorasa "w przebraniu" - obliczanie odległości między dwoma punktami.

d (lub |AB|) (czerwony) - szukana odległość między punktami A i B
|x₂ - x₁| (zielony) - różnica współrzędnych X (dolna przyprostokątna)
|y₂ - y₁| (niebieski) - różnica współrzędnych Y (boczna przyprostokątna)

Z kolei, aby znaleźć środek odcinka $S$, wystarczy policzyć klasyczną średnią arytmetyczną jego dwóch końców (osobno dla "iksów" oraz "igreków"): $$ S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) $$

2. Prosta i odległość punktu od prostej

Z wcześniejszych klas doskonale znamy już postać kierunkową $y = ax + b$. W geometrii analitycznej bardzo często używamy jednak alternatywnej, postaci ogólnej prostej: $$ Ax + By + C = 0 $$ Jest ona niezwykle przydatna, gdy szukamy najkrótszej odległości (nazwijmy ją $d$) jakiegoś konkretnego punktu $P=(x_0, y_0)$ od tej właśnie prostej. Wzór na tę odległość to: $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Rys. 2. Odległość $d$ to zawsze najkrótszy, prostopadły odcinek łączący punkt $P$ z daną prostą.

Przecięcie prostych Gdy szukasz punktu, w którym przecinają się dwie proste (np. $y = 5x - 7$ oraz $y = 3x - 5$), wystarczy przyrównać je do siebie: $5x - 7 = 3x - 5$. Po wyliczeniu $x=1$, podstawiasz go do dowolnego z równań i otrzymujesz $y=-2$. Punkt przecięcia to $(1, -2)$.

3. Równanie okręgu

Okrąg to zbiór wszystkich punktów oddalonych dokładnie o taki sam dystans (promień $r$) od jednego, centralnego punktu (środka $S=(a, b)$). Opisujemy go równaniem kanonicznym: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$ Jeśli okrąg jest ułożony idealnie na środku układu współrzędnych (ma środek w punkcie $(0,0)$), wzór maksymalnie się upraszcza do postaci: $x^2 + y^2 = r^2$.

Postać ogólna okręgu i "zwijanie" wzorów Czasem równanie okręgu jest "rozbite" i wygląda tak: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Aby z tego wyciągnąć środek i promień, musimy użyć wzorów skróconego mnożenia (tzw. zwijanie). Grupujemy "iksy" i "igreki": $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$. Zastanawiamy się, czego brakuje, by zwinąć to w nawias. Dla $x^2 - 4x$ brakuje $+4$ (bo $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$). Dla $y^2 + 6y$ brakuje $+9$ (bo $(y+3)^2 = y^2 + 6y + 9$). Dodajemy te liczby obustronnie: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9$ W ten sposób otrzymujemy piękne równanie kanoniczne: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$, z którego od razu widać, że środek to $S=(2, -3)$, a promień $r=5$.

Wzajemne położenie okręgów Mając dwa okręgi o promieniach $r_1$ i $r_2$ oraz środkach $S_1$ i $S_2$, możemy łatwo sprawdzić, jak są względem siebie ułożone. Wystarczy policzyć odległość między ich środkami $|S_1 S_2|$:

$|S_1 S_2| > r_1 + r_2$ - okręgi są rozłączne (nie stykają się).
$|S_1 S_2| = r_1 + r_2$ - okręgi są styczne zewnętrznie (stykają się w jednym punkcie).
$|r_1 - r_2| < |S_1 S_2| < r_1 + r_2$ - okręgi przecinają się (mają dwa punkty wspólne).
$|S_1 S_2| = |r_1 - r_2|$ - okręgi są styczne wewnętrznie (jeden mniejszy dotyka drugiego od środka).
$|S_1 S_2| < |r_1 - r_2|$ - mniejszy okrąg jest w całości wewnątrz większego i go nie dotyka.

Pro-tip: Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym Zazwyczaj znalezienie środka okręgu opisanego na trzech punktach to sporo liczenia. Ale jest genialny trik! Jeśli sprawdzisz z Twierdzenia Pitagorasa, że trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu opisanego na nim leży dokładnie w połowie przeciwprostokątnej (najdłuższego boku). Oszczędza to mnóstwo czasu na sprawdzianach i maturze!

4. Wektory (Podstawy)

Wektor najłatwiej wyobrazić sobie jako strzałkę na płaszczyźnie. Charakteryzuje go kierunek, zwrot (gdzie wskazuje grot) i długość. Zapisujemy go w nawiasach kwadratowych, obliczając różnicę współrzędnych końca i początku strzałki. Dla wektora $\vec{AB}$: $$ \vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A] $$ Wektory możemy bezpiecznie dodawać do siebie (dodając iksy do iksów, igreki do igreków) oraz mnożyć przez dowolną liczbę (co fizycznie wydłuża je, skraca lub odwraca ich zwrot).

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego wzór na odległość dwóch punktów ($|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$) wygląda niemal identycznie jak legendarne Twierdzenie Pitagorasa? To dlatego, że nim właśnie jest!

Wyobraź sobie dwa dowolne punkty na kartce w kratkę (w układzie współrzędnych): $A=(1, 2)$ oraz $B=(4, 6)$. Chcesz zmierzyć odległość między nimi (długość odcinka $AB$), ale możesz poruszać się tylko wzdłuż osi układu (prawo-lewo i góra-dół). Jeśli od punktu $A$ pójdziesz poziomo w prawo, a od punktu $B$ pójdziesz pionowo w dół, te dwie nowe linie przetną się pod kątem prostym, tworząc z odcinkiem $AB$ idealny trójkąt prostokątny!

Odcinek $AB$ to nasza przeciwprostokątna $c$. Jaka jest długość poziomej przyprostokątnej (nazwijmy ją $a$)? To po prostu różnica "iksów" obu punktów (czyli $4 - 1 = 3$). Matematycznie zapiszemy to jako $(x_2 - x_1)$. Jaka jest długość pionowej przyprostokątnej (nazwijmy ją $b$)? To różnica "igreków" obu punktów (czyli $6 - 2 = 4$). Matematycznie zapiszemy to jako $(y_2 - y_1)$.

Skoro z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że $c^2 = a^2 + b^2$, to w naszym przypadku długość odcinka $|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Aby otrzymać samo $|AB|$, wystarczy wszystko spierwiastkować! Kartezjusz, twórca układu współrzędnych, genialnie przeniósł w ten sposób całą starożytną geometrię do świata algebry.