Równania kwadratowe

Po opanowaniu prostych równań liniowych przychodzi czas na równania kwadratowe, w których niewiadoma $x$ pojawia się w drugiej potędze. Na początku mogą wydawać się one trudne przez dużą liczbę obliczeń, ale po zrozumieniu zasady działania słynnej "delty", stają się one bardzo schematyczne.

1. Postać ogólna równania

Każde uporządkowane równanie kwadratowe zapisujemy w postaci ogólnej: $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ gdzie $a$, $b$ i $c$ to tzw. współczynniki liczbowe, a współczynnik $a$ absolutnie nie może być równy zero (ponieważ bez $ax^2$ nie mielibyśmy równania kwadratowego, tylko zwykłe liniowe). Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, upewnij się, że przeniosłeś wszystkie elementy na jedną stronę, tak aby po prawej stronie zostało tylko $0$!

2. Wyróżnik równania kwadratowego (Delta)

Kluczem do rozwiązania takiego równania jest obliczenie jego wyróżnika, zwanego powszechnie w szkole deltą ($\Delta$). Wzór na deltę to serce całego działu: $$ \Delta = b^2 - 4ac $$

W zależności od tego, jaki wynik uzyskasz po obliczeniu delty, otrzymasz jedną z trzech możliwości:

1. $\Delta > 0$ (delta dodatnia) - równanie posiada dwa różne rozwiązania (pierwiastki). Wzory na nie to: $$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$
2. $\Delta = 0$ (delta równa zero) - równanie posiada tylko jedno podwójne rozwiązanie: $$ x_0 = \frac{-b}{2a} $$
3. $\Delta < 0$ (delta ujemna) - równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. W tej sytuacji od razu kończysz zadanie, pisząc "brak rozwiązań" (brak miejsc zerowych)!

Szybki trik: Rozwiązywanie bez delty (z postaci kanonicznej)

Jeśli równanie kwadratowe uda nam się zapisać w postaci zwiniętej (korzystając ze wzorów skróconego mnożenia) lub mamy od razu podaną postać kanoniczną, możemy całkowicie pominąć liczenie delty! Przykładowo, mając równanie $ (x+2)^2 - 4 = 0 $, możemy postąpić następująco: Przenosimy liczbę na drugą stronę: $$ (x+2)^2 = 4 $$ Teraz wyciągamy pierwiastek z obu stron. Pamiętaj jednak, że istnieją dwie liczby, które podniesione do kwadratu dają $4$ (są to $2$ oraz $-2$). Otrzymujemy zatem: $$ x+2 = 2 \quad \lor \quad x+2 = -2 $$ Co daje nam gotowe rozwiązania: $$ x = 0 \quad \lor \quad x = -4 $$

Wzory Viète'a

Gdy równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ posiada pierwiastki ($ \Delta \ge 0 $), często spotkasz się z zadaniami z parametrem, które wymagają określenia znaków tych pierwiastków lub wartości wyrażeń z nimi związanych. Z pomocą przychodzą wtedy Wzory Viète'a: $$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $$ $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

Dzięki nim możemy obliczyć skomplikowane wyrażenia bez wcześniejszego wyznaczania dokładnych wartości $x_1$ i $x_2$. Oto dwa najbardziej przydatne przekształcenia algebraiczne:

• Suma kwadratów: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
• Suma sześcianów: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Wszyscy uczniowie uczą się na pamięć wzoru na deltę ($\Delta = b^2 - 4ac$) i wzorów na pierwiastki. Skąd one tak naprawdę się wzięły? Matematycy ich nie wymyślili – oni je wyprowadzili, korzystając z bardzo prostej sztuczki zwanej "dopełnianiem do pełnego kwadratu"!

Wyobraźmy sobie równanie ogólne $ax^2 + bx + c = 0$. Podzielmy je na początku obustronnie przez $a$ (wiemy, że $a \neq 0$): $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Teraz użyjemy sztuczki. Pamiętasz wzór skróconego mnożenia $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$? Spróbujmy "zwinąć" nasze równanie do tego nawiasu. Aby to zrobić, wyrażenie $\frac{b}{a}x$ musi pełnić rolę $2px$. Zatem nasze $p$ to po prostu $\frac{b}{2a}$. Dodajemy i odejmujemy sztucznie wartość $(\frac{b}{2a})^2$ tak, by niczego nie zepsuć, ale by móc uformować idealny nawias ze wzoru skróconego mnożenia.

Po uformowaniu nawiasu otrzymujemy: $(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$

Przenieśmy wszystkie wolne wyrazy (ułamki) na prawą stronę: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$

Zróbmy wspólny mianownik po prawej stronie, czyli pomnóżmy drugi ułamek górę i dół przez $4a$: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

I nagle, w liczniku po prawej stronie, samoczynnie pojawia się ułożenie $b^2 - 4ac$! Ponieważ ten kawałek decydował o wszystkim (w końcu nawias podniesiony do kwadratu musi być dodatni lub zerowy), matematycy nadali mu specjalną nazwę – wyróżnik, oznaczany jako grecka litera $\Delta$ (delta). Kiedy spierwiastkujemy to równanie z obu stron i przeniesiemy lewy ułamek $\frac{b}{2a}$ na prawo, otrzymamy nic innego jak dobrze znane wzory $x_1$ i $x_2$.

Nikt nigdy nie uczy tego wyprowadzenia na lekcjach, bo to dużo ułamków i literek, jednak sama delta to nie magia, a jedynie "resztka" ze zwijania równania we wzór skróconego mnożenia!

Przykładowe zadania