Procenty

Procenty otaczają nas z każdej strony – widzimy je na metkach ubrań jako zniżki, na paragonach, czy jako wskaźniki naładowania baterii. Słowo „procent” pochodzi z łaciny i oznacza „na sto”, dzięki czemu procenty są doskonałym narzędziem do porównywania różnych wielkości. Dowiesz się tutaj, jak z nimi pracować, aby matematyka na zakupach (i na egzaminie) stała się prosta.

1. Zamiana ułamków na procenty i procentów na ułamki

Jeden procent ($1%$) to po prostu jedna setna część całości. Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu go przez 100. Na przykład: $$ 45% = \frac{45}{100} = 0,45 $$ Z kolei, aby zamienić dowolny ułamek (zwykły lub dziesiętny) na procent, wystarczy pomnożyć go przez $100%$. Na przykład: $$ \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot 100% = \frac{300%}{5} = 60% $$ Dzięki temu sprowadzamy każdą wartość do wspólnego mianownika 100, co bardzo ułatwia porównywanie danych.

2. Obliczanie procentu danej liczby

Aby obliczyć, jaką wartością jest dany procent z pewnej liczby, wystarczy zamienić ten procent na ułamek dziesiętny lub zwykły i pomnożyć go przez tę liczbę. Jeśli chcemy obliczyć $30%$ z kwoty $150$ zł:

Zmieniamy procent na ułamek: $30% = 0,30$.
Mnożymy przez liczbę: $$ 0,30 \cdot 150 = 45 $$ Oznacza to, że $30%$ ze $150$ zł to dokładnie $45$ zł.

3. Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu

Czasami wiemy, ile wynosi dany procent liczby, i chcemy odtworzyć całą liczbę (czyli nasze $100%$). W takiej sytuacji możemy ułożyć proporcję, podzielić wartość przez dany procent i pomnożyć przez sto. Na przykład, jeśli $15%$ pewnej liczby $x$ wynosi $45$, możemy zapisać: $$ 0,15 \cdot x = 45 $$ Aby obliczyć $x$, dzielimy obie strony przez $0,15$: $$ x = \frac{45}{0,15} = \frac{4500}{15} = 300 $$ Szukana liczba (nasze $100%$) to zatem $300$.

4. Podwyżki i obniżki (zmiany procentowe)

Większość zadań z życia wziętych (i z egzaminów) dotyczy tego, że coś tanieje albo drożeje. Kiedy przedmiot kosztujący początkowo $x$ zostaje przeceniony (obniżka) o np. $20%$, jego nowa cena będzie stanowić $100% - 20% = 80%$ ceny początkowej: $$ \text{Nowa cena} = 0,80 \cdot x $$

Z kolei, gdy cena rośnie, czyli mamy podwyżkę o $10%$, przedmiot będzie kosztował $100% + 10% = 110%$ ceny pierwotnej: $$ \text{Nowa cena} = 1,10 \cdot x $$ Dzięki temu sprytnemu trikowi możemy wyliczyć nową cenę od razu jednym mnożeniem!

Dla dociekliwych: Dlaczego obniżka 50%, a potem znowu 50% nie oznacza, że rzecz jest za darmo?

Wyobraź sobie, że Twój wymarzony rower kosztuje 1000 zł. Sklep ogłasza wielką promocję: najpierw obniżka o 50%, a za parę dni z okazji czyszczenia magazynów, kolejna obniżka o 50% od nowej ceny. Z pozoru $50% + 50% = 100%$, prawda? Ale matematyka działa tu inaczej. Po pierwszej obniżce rower traci 50% swojej początkowej wartości: $$ 1000 \cdot 0,50 = 500 \text{ zł} $$ Druga obniżka naliczana jest od tej nowej, mniejszej kwoty (czyli od 500 zł), a nie od początkowego 1000 zł! Tracimy więc 50% ze 500 zł: $$ 500 \cdot 0,50 = 250 \text{ zł} $$ Ostatecznie rower będzie kosztować 250 zł, a nie 0 zł. W procencie składanym kluczowe jest to, że każda nowa zmiana procentowa jest liczona od nowej podstawy. Zawsze zwracaj uwagę, czego dotyczy dany procent!