Liczby ujemne

Liczby ujemne otaczają nas w codziennym życiu – to dzięki nim wiemy, że na dworze jest mróz, albo że nasze konto w banku jest puste i mamy dług do spłacenia. Pojawiają się tam, gdzie schodzimy "poniżej zera", a operowanie nimi wymaga tylko zapamiętania kilku prostych zasad.

1. Dodawanie i odejmowanie (Długi i temperatury)

Liczby ujemne najłatwiej wyobrazić sobie na dwa sposoby: jako temperaturę poniżej zera na termometrze lub jako dług w banku. Dodawanie i odejmowanie takich liczb to tak naprawdę sprawdzanie stanu naszego konta lub odczytywanie zmian pogody.

• Jeśli masz $5$ zł, a musisz zapłacić $8$ zł, brakuje Ci pieniędzy. Wchodzisz na minus: $$ 5 - 8 = -3 $$
• Jeśli masz już $10$ zł długu (czyli Twój stan konta to $-10$) i wydasz kolejne $5$ zł, Twój dług po prostu rośnie. Dwa minusy podczas odejmowania nie znoszą się wzajemnie, one się sumują w jeszcze większy dług: $$ -10 - 5 = -15 $$
• A co jeśli chcemy odjąć liczbę ujemną? Odjęcie długu to tak naprawdę zysk! Dwa minusy postawione bezpośrednio obok siebie dają plus: $$ 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 $$

2. Mnożenie i dzielenie (Minus i minus daje plus)

Przy mnożeniu i dzieleniu zasady są bardzo konkretne i zależą wyłącznie od znaków liczb, a nie od ich wielkości. Najważniejsza reguła mówi: minus i minus daje plus.

Oto pełne zestawienie reguł dla znaków:

• Plus i Plus = Plus ($5 \cdot 3 = 15$)
• Plus i Minus (oraz Minus i Plus) = Minus ($5 \cdot (-3) = -15$, $-12 : 4 = -3$)
• Minus i Minus = Plus ($-5 \cdot (-3) = 15$, $-20 : (-4) = 5$)

3. Kolejność wykonywania działań z liczbami ujemnymi

Kiedy w jednym wyrażeniu spotykają się różne operacje, obowiązuje standardowa kolejność działań (nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie). Należy jednak cały czas pilnować znaków.

Wyobraźmy sobie taki przykład: $$ -4 + 5 \cdot (-2) $$ Zgodnie z kolejnością działań, najpierw wykonujemy mnożenie (dodatnia razy ujemna daje ujemną): $5 \cdot (-2) = -10$. Następnie przechodzimy do dodawania: $-4 + (-10)$. Dodać dług, to po prostu go zaciągnąć, czyli: $-4 - 10 = -14$.

Dla dociekliwych: Dlaczego matematycy bali się liczb ujemnych?

Choć dzisiaj używamy liczb ujemnych na co dzień, na przykład sprawdzając temperaturę, przez setki lat matematycy uważali je za "absurdalne" i "niemożliwe". W starożytności, a nawet w średniowieczu, liczby służyły głównie do liczenia fizycznych przedmiotów – jabłek, krów czy monet. Jak można było mieć "mniej niż zero" jabłek?

Dopiero hinduscy matematycy w VII wieku (np. Brahmagupta) zaczęli swobodnie traktować liczby ujemne właśnie jako finansowe długi. W Europie jednak jeszcze w XVI wieku liczby ujemne nazywano "fałszywymi" i starano się unikać ich jako wyników równań. Pełna akceptacja nadeszła, gdy upowszechniła się oś liczbowa. Pokazała ona kierunek w lewo od zera, udowadniając, że liczby ujemne to takie same liczby jak dodatnie, tylko skierowane w przeciwną stronę!

Innym fascynującym aspektem jest sposób, w jaki z liczbami ujemnymi radzą sobie komputery. Maszyny te na najniższym poziomie rozumieją tylko $0$ i $1$, dlatego używają sprytnej techniki zwanej "kodem uzupełnień do dwóch" (U2). Pierwszy bit z lewej strony pełni często rolę znaku – jeśli jest tam $1$, komputer wie, że ma do czynienia z liczbą na minusie.

Przykładowe zadania