Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to prawdopodobnie najbardziej znany wzór na świecie, i na dodatek przydaje się wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z kątem prostym (w architekturze, budownictwie czy nawigacji).

1. Podstawy: Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenia Pitagorasa używamy wyłącznie w trójkątach prostokątnych (czyli takich, które mają dokładnie jeden kąt o mierze $90^\circ$).

Podstawowy wzór wygląda następująco:

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Co oznaczają poszczególne litery?

• $a$ oraz $b$ to przyprostokątne – dwa krótsze boki, które stykają się ze sobą, tworząc kąt prosty.
• $c$ to przeciwprostokątna – najdłuższy bok trójkąta, leżący dokładnie naprzeciwko kąta prostego.

2. Sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny

Twierdzenie Pitagorasa działa również w drugą stronę. Jeśli zastanawiasz się, czy dany trójkąt ma kąt prosty, wystarczy sprawdzić, czy jego boki spełniają wzór $a^2 + b^2 = c^2$. Bierzemy dwa krótsze boki ($a$ i $b$), podnosimy je do kwadratu i sumujemy. Jeśli wynik jest równy kwadratowi najdłuższego boku ($c^2$), to trójkąt jest na pewno prostokątny.

Szczególnym przypadkiem są tzw. trójkąty pitagorejskie, czyli takie trójkąty prostokątne, których wszystkie boki są wyrażone liczbami całkowitymi. Najsłynniejszym z nich jest trójkąt o bokach $3, 4, 5$. Sprawdźmy:

$$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $$

$$ 5^2 = 25 $$ Zgadza się! Innym popularnym trójkątem pitagorejskim jest $5, 12, 13$.

Dla dociekliwych: Sznur z 12 węzłami

Twierdzenie Pitagorasa znano i stosowano w Egipcie, Babilonii i Chinach na długo przed narodzinami samego Pitagorasa! Starożytni budowniczowie musieli mieć sposób na wyznaczanie idealnego kąta prostego przy budowie piramid czy świątyń. Jak to robili bez dzisiejszych narzędzi?

Używali sznura z zawiązanymi trzynastoma węzłami w równych odstępach, który dzielił się na 12 równych odcinków. Budowniczowie brali trzy paliki i wbijali je w ziemię tak, by napięty sznur utworzył trójkąt o bokach długości 3, 4 oraz 5 odcinków. Ponieważ $3^2 + 4^2 = 5^2$, taki trójkąt z matematycznego punktu widzenia musi być prostokątny! Kąt między bokami o długości 3 i 4 był idealnie prosty, co pozwalało na stawianie perfekcyjnie pionowych murów. Trójkąt o takich bokach nazywa się do dziś trójkątem egipskim.