Prawdopodobieństwo – Klasa 7-8 i E8

Prawdopodobieństwo to dział matematyki, który pozwala nam liczbowo ocenić szanse na to, że jakieś konkretne wydarzenie (np. wygrana na loterii, wyrzucenie szóstki na kostce) rzeczywiście będzie miało miejsce.

1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Wzór na podstawowe prawdopodobieństwo (oznaczane wielką literą $P$) jest bardzo logiczny i ma postać zwykłego ułamka. Aby go zapisać matematycznie, wprowadzamy dwa ważne oznaczenia:

• $A$ – zdarzenie, które nas interesuje (np. wyrzucenie szóstki).
• $\Omega$ (czyt. omega) – zbiór wszystkich możliwych wyników w naszym doświadczeniu (np. wszystkie możliwe oczka na kostce).

Pionowe kreski wokół litery, czyli $|A|$ oraz $|\Omega|$, oznaczają po prostu liczbę elementów w danym zbiorze. W liczniku zapisujemy liczbę interesujących nas, "zwycięskich" scenariuszy ($|A|$), a w mianowniku umieszczamy liczbę wszystkich możliwych scenariuszy ($|\Omega|$).

$$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} $$

Prawdopodobieństwo najczęściej wyrażamy za pomocą ułamków zwykłych, ułamków dziesiętnych lub procentów. Zawsze przyjmuje ono wartość od $0$ (coś na pewno się nie wydarzy, zdarzenie niemożliwe) do $1$ (coś wydarzy się na 100%, zdarzenie pewne).

Przykład: Rzut kostką Jaka jest szansa na wyrzucenie parzystej liczby oczek na tradycyjnej sześciennej kostce do gry?

• Wszystkie możliwe wyniki to $\Omega$: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Zatem wszystkich możliwości jest sześć: $|\Omega| = 6$.
• Interesujące nas wyniki (parzyste) to $A$: $2, 4, 6$. Zatem interesujących nas wyników jest trzy: $|A| = 3$.

$$ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$ Co można zamienić na $0,5$ lub $50%$.

2. Zdarzenia niezależne

Często spotkasz się z sytuacją, gdzie rzucamy monetą kilka razy, albo najpierw rzucamy kostką, a potem losujemy kartę. Zdarzenia nazywamy niezależnymi, jeśli wynik pierwszego zdarzenia absolutnie w żaden sposób nie wpływa na wynik drugiego.

• Rzuty kostką: Jeśli w pierwszym rzucie wyrzuciłeś szóstkę, w drugim rzucie kostka "nie pamięta", co na niej wypadło. Szansa na wyrzucenie szóstki w drugim rzucie to nadal $\frac{1}{6}$.
• Rzuty monetą: Gdy rzucasz monetą 10 razy z rzędu i za każdym razem wypada orzeł, szansa na wyrzucenie orła w jedenastym rzucie to wciąż dokładnie $\frac{1}{2}$.
• Losowanie ze zwracaniem: Jeśli losujesz z talii kart (np. szukając asa), oglądasz kartę, a następnie wkładasz ją z powrotem i tasujesz talię, to losowania są niezależne. Twój drugi wybór ma znowu takie same szanse jak pierwszy.

Dla dociekliwych: Paradoks hazardzisty (Błąd gracza)

Wyobraź sobie, że stoisz przy stole w kasynie, przy ruletce. Piłeczka pięć razy z rzędu zatrzymała się na czerwonym polu. Wiele osób pomyśli: "Teraz to już na pewno musi wypaść czarne! Przecież nie może ciągle wypadać czerwone!". To bardzo powszechne przekonanie nazywamy błędem poznawczym gracza (lub paradoksem hazardzisty).

Prawda jest jednak taka, że mechanizm ruletki nie ma pamięci. Każdy kolejny obrót jest zdarzeniem całkowicie niezależnym. Nawet jeśli czerwone wypadło sto razy z rzędu, szansa na wylosowanie czarnego w kolejnym rzucie jest nadal dokładnie taka sama, jak na początku (około 48,6% na europejskiej ruletce, z powodu zielonego zera). Seria takich samych wyników w przeszłości nie zmienia rachunku prawdopodobieństwa dla kolejnych pojedynczych zdarzeń!

Przykładowe zadania