Granice Funkcji | Łapka Matma

O ile granice ciągów dotyczą dyskretnych wartości $a_1, a_2, a_3, \ldots$, o tyle granice funkcji opisują zachowanie funkcji $f(x)$ gdy $x$ zbliża się do pewnego punktu lub rośnie do nieskończoności. To fundament rachunku różniczkowego.

1. Granica funkcji w punkcie

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$ oznacza, że wartości $f(x)$ zbliżają się do $L$, gdy $x$ zbliża się do $a$ (z obu stron). Ważne: wartość $f(a)$ nie musi istnieć ani być równa $L$!

2. Granice jednostronne

Czasem funkcja zachowuje się inaczej "od lewej" i "od prawej":

$\lim_{x \to a^-} f(x)$ — granica lewostronna (zbliżamy się od mniejszych wartości)
$\lim_{x \to a^+} f(x)$ — granica prawostronna (zbliżamy się od większych wartości)

Granica obustronna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są sobie równe.

3. Granice w nieskończoności

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) \quad \text{i} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) $$ Najczęstsza metoda: dzielimy przez najwyższą potęgę $x$ w liczniku i mianowniku: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x}{5x^2 - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{5 - \frac{2}{x^2}} = \frac{3}{5} $$

4. Symbole nieoznaczone i metody

Gdy bezpośrednie podstawienie daje $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$ itp., stosujemy:

Rozkład na czynniki (skracanie wspólnych czynników)
Mnożenie przez sprzężenie (gdy pojawiają się pierwiastki)
Dzielenie przez najwyższą potęgę (przy granicach w $\infty$)
Regułę de l'Hôpitala (różniczkowanie licznika i mianownika)

5. Ciągłość funkcji

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$, jeśli spełnione są trzy warunki:

$f(a)$ jest określone
$\lim_{x \to a} f(x)$ istnieje
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Intuicyjnie: wykres funkcji ciągłej da się narysować "bez odrywania ołówka od kartki".

6. Asymptoty

Pionowa w $x = a$: gdy $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (mianownik zeruje się)
Pozioma $y = L$: gdy $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$
Ukośna $y = ax + b$: gdy $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ i $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]$

Dla dociekliwych: Reguła de l'Hôpitala

Gdy mamy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$, możemy zastosować genialny trik: zróżniczkować osobno licznik i mianownik: $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ (o ile prawa strona istnieje). Regułę można stosować wielokrotnie, aż symbol nieoznaczony zniknie. Uwaga: to nie jest pochodna ułamka! Różniczkujemy licznik i mianownik osobno.